⚒ Caractérisation de la convexité et applications

Propriété

La fonction  $\ln$ est concave sur  ${\mathbb{R}}_{\mathbb{+}}^{\mathbb{\ast }}$ donc, pour tout réel $\lambda \in [0;1]$ , pour tous réels  $X$ et  $Y$ strictement positifs,  $\ln (\lambda X+(1-\lambda )Y)⩾\lambda \ln X+(1-\lambda )\ln Y$ .

En posant $\lambda ={\displaystyle \frac{1}{p}}$ , on a alors $1-\lambda =1-{\displaystyle \frac{1}{p}}={\displaystyle \frac{1}{q}}$ .
On en déduit que  $\ln ({\displaystyle \frac{1}{p}}X+{\displaystyle \frac{1}{q}}Y)⩾{\displaystyle \frac{1}{p}}\ln X+{\displaystyle \frac{1}{q}}\ln Y$ .

On pose  $X=x^p$ et $Y=y^q$ . On a  $\begin{array}{rl}\ln ({\displaystyle \frac{x^p}{p}}+{\displaystyle \frac{x^q}{q}})& ⩾{\displaystyle \frac{1}{p}}\ln (x^p)+{\displaystyle \frac{1}{q}}\ln (y^q)\\ & ⩾\ln (x)+\ln (y)\\ & ⩾\ln (xy)\end{array}$

La fonction exponentielle est croissante sur  $\mathbb{R}$ donc ${\displaystyle \frac{x^p}{p}}+{\displaystyle \frac{x^q}{q}}⩾xy$ .

Exemple

Posons par exemple $\lambda ={\displaystyle \frac{1}{2}}$ . On obtient, pour tous réels  $x$ et  $y$ positifs, $f({\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}y)⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}f(x)+{\displaystyle \frac{1}{2}}f(y)$ .

Pour tout réel $y⩾0$ , $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}({\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}y)=+\mathrm{\infty }$ . Comme $\underset{X\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(X)=0$ , alors,
par composition,  $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f({\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}y)=0$ .

En faisant un passage à la limite dans l'inégalité précédente, on obtient que, pour tout réel $y⩾0$ ,  $0⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}f(y)$ soit $f(y)⩾0$ .

$f$  est donc positive sur ${\mathbb{R}}_{\mathbb{+}}$ .