⚒ Caractérisation de la convexité et applications

Propriété

La fonction  \(\ln\) est concave sur  \(\mathbb {R_+^*}\) donc, pour tout réel \(\lambda\in[0;1]\) , pour tous réels  \(X\) et  \(Y\) strictement positifs,  \(\ln(\lambda X+(1-\lambda )Y)\geqslant\lambda\ln X+(1-\lambda)\ln Y\) .

En posant \(\lambda = \dfrac{1}{p}\) , on a alors \(1-\lambda=1-\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{q}\) .
On en déduit que  \(\ln\left(\dfrac{1}{p}X+\dfrac{1}{q}Y\right)\geqslant\dfrac{1}{p}\ln X+\dfrac{1}{q}\ln Y\) .

On pose  \(X= x^p\) et \(Y=y^q\) . On a  \(\begin{align}\ln\left( \dfrac{x^p}{p}+\dfrac{x^q}{q}\right) &\geqslant \dfrac{1}{p}\ln(x^p)+\dfrac{1}{q}\ln(y^q) \\ &\geqslant \ln(x)+\ln(y)\\ &\geqslant\ln(xy) \end{align}\)

La fonction exponentielle est croissante sur  \(\mathbb {R}\) donc \(\dfrac{x^p}{p}+\dfrac{x^q}{q}\geqslant xy\) .

Exemple

Posons par exemple \(\lambda = \dfrac{1}{2}\) . On obtient, pour tous réels  \(x\) et  \(y\) positifs, \(f\left( \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y \right)\leqslant\dfrac{1}{2}f(x)+\dfrac{1}{2}f(y)\) .

Pour tout réel \(y\geqslant0\) , \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\left( \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y \right)=+\infty\) . Comme \(\lim\limits_{X \rightarrow +\infty}f(X)=0\) , alors,
par composition,  \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}f\left( \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y \right)=0\) .

En faisant un passage à la limite dans l'inégalité précédente, on obtient que, pour tout réel \(y\geqslant0\) ,  \(0\leqslant\dfrac{1}{2}f(y)\) soit \(f(y)\geqslant0\) .

\(f\)  est donc positive sur \(\mathbb {R_+}\) .